数学の欠片 パターンの認識
算数や数学の公式のどこにどのような仕組みがあるのか、それをなんとなく考えてみると、ほとんどの場合、なんらかしらの値や記号が、入れ替わり繰り返されるような、定型的なパターンが存在していることに気づく。 誰がそのような数学的な仕組みに初めに気づ...
数学的なあれこれ
数学の欠片 
証明のヒント 「ある定理」の証明に関して
一つ、証明をしてみよう。 例えば、私の愛読している数学書には、ある定理に関してこう書かれている。 $c$. 一般に次の定理が成立する（特に$a$ が $b$ で割り切れる場合も含めて）： どんな整数$a$ も、正の整数$b$ によって、...
数学の欠片 努力の工夫
どんな本や理論を学ぶにしても、体力や知力が必要で、その体力や知力をつけるための工夫や努力は、どの分野の達人を見ていても「凄い」と感じる事がある。 どう、その山（本や理論）を攻略するか、という事はまちまちのようにも感じるのだけれど、ある山を攻...
数学の欠片 高校時代に悩んだ数の仕組み
私が、高校時代に悩んだ事の一つとして、「傾きとは何か、どう導出しているか？」という事がある。 「傾きに関する定義」を様々な本で調べてみると傾き $= displaystylefrac {yの変化量} {xの変化量} $ で表される、と書かれ...
数学の欠片 「 ≡ 」の意味
「何が等しいか」により数学記号が変化する事は、数学を行なっていて、極めて興味深い事のように感じる。 具体的に、同値とは、「$A Leftrightarrow B$」で表されるものだけれど、$A$ と $B$ の間の等しさを表す記号の一つで...
数学の欠片 本との出会い
誠実に編まれている本との出会いは、人生を変えてしまう力がある。 どのような人が、どう自分の本を編んでいるか、それは本当の所、私には分からない。 ただ、いろいろな本をかいつまんで読んでいると、どれだけその本の著者がその人にとって大切なものを理...
数学の欠片 ある定理の成り立ちに関して
平方剰余相互法則という定理がある。 定理の成り立ちを見てみると、もちろんガウスをはじめとして、ルジャンドルやフェルマー、オイラーなど様々な数学者が関わっていた事が分かる。 この時、「ある定理が証明される」とは何を意味しているのだろうか？ も...
数学の欠片 数学と向き合う時間
数学を理解するためには、たくさんの時間がかかる。 時間をかけなければ分かるようにはならない、それが数学という学問だろうと思う。 どんな人が、どのような研究にどれくらいの時間をかけているのか、それは私には分からない事だけれど、おそらく数学の研...
数学の欠片 メタな定理
定理を加工する時に必要な定理、それを私は「メタな定理」と呼んでいる。 定理を作る時にどのような形にしたら証明の道筋がつくのか分からない、そのような場面が出てくる事は多々あるように思う。 そんな時に、あらかじめこのような形が作れてしまえば、証...
数学の欠片 排中律
「正しいのは$A$ か$B$ か、そのどちらかだ」という議論をする事は多々あるように思う。 証明を行なっていると、このような分岐を伴う場面というものが出てくる時がある。 そんな時の証明手法を排中律という。 高校数学で、その名をあまり聞きなれ...