「証明には流れが存在している」と
よく言われるのだけれど、この流れとは、
ワンステップごとの「自然な結びつき」のことだと
私は解釈している。
この「自然な結びつき」とは何かと言われると、
ワンステップごとに生じる「必然的な理由」のこと。
例えば、公理とか定義とか定理、前提条件とかは、
階段を一段降ろす時の「理由」になり得る。
また、証明する時にどのような手順が
有効かは分からないですが、よく使う手順について
まとめてみました。
参考にしてみてください。
定理を使う
$p \Rightarrow q$ という証明のステップの中に
$p^{\prime}$という文言のステップが生じたとする。
この時、$p^{\prime} \Rightarrow q^{\prime}$ という文言が証明済みであるならば、
$p^{\prime}$の次のステップに直接 $q^{\prime}$ を置くことができる。
ある定理 $p \Rightarrow q$ の証明のステップの中で、
証明済みの別の定理 $p^{\prime} \Rightarrow q^{\prime}$ を利用したい場合、
大半が、$p^{\prime} \Rightarrow q^{\prime}$ である時の具体例や、文字や数字を
変化させたものであることが多い。
前提条件を使う
条件設定がなされている証明すべき文言は、
証明のどこかで、その条件を使用しないと証明すべき文言が、
証明できない。
逆にいうと、「その条件を設定することで、
ある文言の証明をすることが出来る」から、
その条件が付帯されていると考えてしまって良い
と思う。
従って、条件設定がなされている証明すべき文言は、
その条件を証明のステップのどこかで使うことが必要になる。
「どこで、その条件を使用するか」は、
証明すべき文言によるのだけれど、そのことは、
証明に慣れてくると徐々に分かるようになる。
展開する
あることが言えた時、
次にどのようなことが言えるかを
考える。
例えば、「$A$」が言えたとする。
この時、何が言えれば
「$B$（次に言いたいこと）」なのかを考える。
$A$ を言ったことから展開させるので、
$A$ に関連することや$A$ を示したことから
言えることを$B$ に置く。
「$A$ が言えた」ことから、次々と言えることを
引き出していくイメージ。
また、$B$ を示した後、もし$C$ と展開させたい時も同じ。
$B$ に置いたことから関連することや
$B$ を示したことから言えることを$C$ と置く。
どこまで言いたいことを引き出していけば良いか、
また、結論へ帰着できるかは、証明に慣れてくると
徐々に分かるようになる。
展開させたい文言を切り替える
$A$ から展開させたい（引き出せる）文言が、
２つ３つ出てくるとする。
この２つ３つを証明のステップとして
活用することがある。
例えば、
$A$ である時
$B$ である. __①
また、$A$ である時
$B^{\prime}$ である. __②
従って① ,②より
$C$ である.
とすることはある。
この時、$A$ から引き出した$B$ と$B^{\prime}$ は、
同じ高さのステップにある文言でもある。
故に、どちらが上でどちらが下でと
決められないけれど、紙に書く以上どちらかを
下に置いて書かざるを得ない。
また、このこと（２つのステップを引き出したこと）に
どんな意味があるかというと、$A$ から引き出した「ステップ$B$」と、
「ステップ$B^{\prime}$」を組み合わせたり、２つのステップが言えることで、
初めて言えることがあったりもするので、そのことから
別の文言を引き出したりもできる。
そすることで、求めたい結論へ
帰着させることができる場合がある。
言い換える
「〇〇である時」と書かれていた時、
この文言が、記号で言い換えられるかどうかを
試してみたり、ある記号の表記を別の言い方で表せないか
確認したりすることがある。
この時、「〇〇である時」が記号で置き換えられると、
その後の操作が若干楽に、そして見やすくなる。
また、記号同士の変換においても、
「この記号は別の形で言い表せないか？」と考えることで、
数式そのものに変化がつけられる。
そうすることで、結論へ帰着させることが
できる場合がある。
別の記号で置き換える
ある値や記号に、別の何らかしらの記号を
当てがうイメージ。
具体的に、$A=B$ というような式があったとして、
そのうちの$A$ が$A$ のままじゃ上手くいかないとか、
その後の展開ができないとか、そのような時に有効な手順。
例えば、そのような時に、$t=A$ と置くとする。
そうすれば、$t=A$であることから別の展開を
作ることができ、また、$A=B$ に $t$ を代入することで
$t=B$ とすることもできて、そのことから、求めたい結論へ
帰着させることができる場合がある。
数式どうしを合成する
ある数式にある数式を合成するイメージ。
具体的は、数学の学習で習う代入のこと。
このことは、私の好きな分野において、
とてもよく使う技術。
排中律を使う
２つの分岐に分かれたルートを証明する技法。
２つの分岐に分かれたルートを証明する場合、
求めたいルートではなく、間違っていそうなルートへ、
わざと議論を展開させる。
そうした時、矛盾することが言えるのであれば、
求めたいルートが正しいと判断できる。
場合分けを使う
ある文言について、そのままでは
うまく証明ができないといったケースが
生じるとする。
そんな時に、部分ごとに分解して証明すると、
うまくいく時がある。
そんな時の証明手法を場合分けという。
場合分けして証明した部分ごとの
パーツは、後でまとめて一つに合わせる
こともできる。
