仮定と結論について
仮定とは、証明の出発点、よく「$p$」と置かれる。
結論とは、証明の終着点、よく「$q$」と置かれる。
証明とは、「$p \Rightarrow q$」までの一連の流れのこと。
ちなみに、大学の数学の授業では、「$p \Rightarrow q$」とは書かれていない。
文章で書かれている。
ゆえに、どこが仮定か、また結論か、知りたければ、
書かれている内容から、文節を丁寧に読み解く必要がある。
例えば、仮定であれば「$p$である時」とか、
「$p$ならば」とか、「$p$であれば」などと書かれている。
結論は、「$q$である」などと書かれている。
この時、「仮定がこれ」、「結論がこれ」、
と判明しさえすれば、あとはパズルの要領で
解くことができる。
個人的には、どこが仮定で、どこが結論かを
見定めることが、とても難しいと思う。
前提条件について
前提条件とは、ある定理が存在している時、
その定理が成り立つための条件のこと。
「○○である時」とか「これを条件として」とか
色々な書かれ方がなされるのだけれど、このことがないと
その定理が成り立たない。
つまり、その前提条件は、ある定理を証明する際、
その証明の中のどこかで使用しなければ、その定理が成立しない
ことを意味する。
証明における主だった3つのパターン
証明手法の種類について、自分自身でもいまいち
自信がなかったので、OpenAI（ChatGPT）で調べてみました。
証明における主だった３つのパターンとは、
直接法、対偶法、背理法というもの。
このほかに、数学的帰納法という証明手法があるそう。
これはこれで、独立した証明手法であるらしい。
この３つの証明手法＋α（アルファ）が
主要な証明手法だとのこと。
直接法について
直接法とは、「$p \Rightarrow q$」を証明する時、
$p$ から$q$ までの間をコツコツと埋めていく方法。
イメージで言うならば、
階段を一段一段、降ろしていくイメージ。
対偶法について
対偶法とは、「$p \Rightarrow q$」を証明しようとする際、
仮定と結論を否定して、かつ、証明の流れを
逆向きに変える方法。
なんでそんなことをするのかというと、
前述の方法（直接法）で解くことが難しい時が
あるから。
ちなみに、「$p$の否定」とは、「 $\neg p$ 」とか「 $\bar{p}$ 」 とか、
色々と書かれ方があるのだけれど、意味合いとしては
「$p$でない」ということ。
「$q$の否定」も、「 $\neg q$ 」 とか 「 $\bar{q}$ 」とか、
色々と書かれ方があるのだけれど、意味合いとしては
「$q$でない」ということ。
従って、「$p \Rightarrow q$」の時、
「$q$でない $\Rightarrow$ $p$でない」を証明すれば
「$p \Rightarrow q$」を証明したことになる。
個人的な覚え方としては、
「否定して、否定して、ひっくり返す」
また、証明の流れに関しては、直接法も
対偶法も同じ。
証明の流れに関して、一例ではあるのだけれど、
イメージとして描くと、こんな感じ。
背理法について
背理法とは、結論を否定して矛盾を導く方法。
ということは、証明するより先に
「結論を否定すると、どこかで矛盾していそうだな」
と思わないといけない。
つまり、論をこねた少し先を推理するわけで、
そのことが比較的難しい。
証明の流れに関しては、こんなイメージ。
