「正しいのは$A$ か$B$ か、そのどちらかだ」という
議論をする事は多々あるように思う。
証明を行なっていると、
このような分岐を伴う場面というものが
出てくる時がある。
そんな時の証明手法を排中律という。
高校数学で、その名をあまり聞きなれないのは、
その立ち位置を是としない立場があるからなのか何なのか
私には分からないのだけれど、排中律という証明に対する
考え方は、意外と使い勝手が良い。
例えば、証明をしている過程で
「$A$ という可能性」と「$B$ という可能性」に分かれた分岐が
生じるとする。
この時、仮に「$A$ か$B$ か、そのどちらか片方が正しい」とするなら、
「$A$ か$B$ のどちらか片方が間違っている」はずである。
この分岐を証明しようとするのであれば、
間違っていそうな方にわざと論を踏み込んでみると良い。
そうすると、間違っている可能性から証明を論じている訳だから、
矛盾した結論を得てしまう。
従って、その可能性が誤りである、故に、もう片方の可能性が正しい、
とする証明手法の事を排中律という。
私が、排中律に関して、意外と使い勝手が良いと思うのは、
この二股分岐が証明の中で結構な頻度で現れるからでもある。
もちろん、感覚的にも、
「$A$ と$B$ の可能性があり、その片方が正しくてもう片方は誤りである」
という考え方は分からない話じゃないように思う。
この時、「$A$ と$B$ の可能性があり、その両方の可能性が混在している」と
考える事も、感覚的にはできる。
ただ、私が古典的な証明をこなしてきて、
その可能性に出会った事は今のところない。
だからと言って、それが古典的な証明の範囲内に
絶対ないかと言ったら、それはどうか分からないのだけれど…。
また、私は、証明に関するあれこれについて、色々と考えていると、
それだけでも数学の奥深さに触れているような、そんな感覚になる。
従って、証明の中で、「どうその証明を成り立たせようか」と
考えながら排中律を使っている時も、そんな数学の魅力に触れている
特別な瞬間なのかもしれない。
故に、「この証明手法は立場上許せない」という方以外は、
この証明手法を方法論の一つとして身につけてみると良いと思う。
きっと証明の幅が、今よりグッと、広がるように私は思う。
