光の中の感覚を考察するにあたって

 

この時、ローレンツ因子を求めるにあたり比較したいのは、$t_1$ と$t_2$。

何故なら、$t_1$と$t_2$にずれが生じる可能性があるため。

 

ずれが生じるとするならば、どれくらいのずれが生じるのか。。。

 

それを求めるために、$\dfrac{t_2}{t_1}$ を計算してみよう。

 

何故、$\dfrac{t_2}{t_1}$を求めるのか？

それは、$t_1$（基準になる値） に対して$t_2$が何倍になっているかを知るため。

つまり、$\dfrac{t_2}{t_1}$を求める事で $t_1$（基準になる値）に対して

$t_2$がどれくらい間隔的にずれているのかが分かる。
 

今、$t_1$を分母（基準）にとった理由は、

自分自身にとって自分自身とは常に静止した存在であるから。

 

つまり、（自分自身から見た時に）動いている人物に生じる時間を基準にとるよりは、

（自分自身から見た時に）静止している人物に生じる時間を基準にとった方が

「自分自身にとって生じる時間」を基準とした比較ができるため。

 

では、実際に計算してみよう。

 

上の図を利用すると、

 

三平方の定理より

 $S=\sqrt{R^2+P^2}$ ___①

また、$S=ct_2$ ___② とも表せ

 

①に②を代入すると

$ct_2=\sqrt{R^2+P^2}$ ___③

 

この時 $t_1=\dfrac{R}{c}$であることより

∴ $ct_1=R$ ___④

 

また、$P=vt_2$ __⑤

③に④、⑤を代入して

$ct_2=\sqrt{(ct_1)^2+(vt_2)^2}$

$ct_2=\sqrt{c^2t_1^2+v^2t_2^2}$

両辺を２乗して

$c^2t_2^2=c^2t_1^2+v^2t_2^2$

従って

$c^2t_2^2-v^2t_2^2=c^2t_1^2$

$(c^2-v^2)t_2^2=c^2t_1^2$

$\cfrac{(c^2-v^2)t_2^2}{t_1^2}=c^2$

$\cfrac{t_2^2}{t_1^2}=\cfrac{c^2}{c^2-v^2}$

$\cfrac{t_2^2}{t_1^2}=\cfrac{1}{\cfrac{c^2}{c^2}-\cfrac{v^2}{c^2}}$

$\cfrac{t_2^2}{t_1^2}=\cfrac{1}{1-\cfrac{v^2}{c^2}}$

この時

$\cfrac{t_2}{t_1}=\pm{\displaystyle\sqrt{\cfrac{1}{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}}$

また $\cfrac{t_2}{t_1}>0$より

$\cfrac{t_2}{t_1}=\displaystyle\sqrt{\cfrac{1}{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}$

従って、

$\cfrac{t_2}{t_1}=\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}$

これが、「ローレンツ因子」と呼ばれるもの。